Александр Мельников среднее образование получил в Архангельской классической гимназии, которую окончил с серебряной медалью в 1909 году.
В том же году поступил в Военно-медицинскую академию в Петербурге. По окончании Военно-Медицинской академии (1914) направлен на фронт Первой мировой войны. С 1918 снова в ВМА. В 1923–40 работал в Харькове, где в 1928 организовал первый в СССР онкологический диспансер.
С 1940 начальник кафедры в Военно-морской медицинской академии (с 1956 в ВМА). В 1941–45 руководил госпиталями для раненных в живот. Описал клинику септических осложнений и анаэробной инфекции огнестрельных ран, опухолевых и предопухолевых заболеваний желудка. Редактор журналов: «Вопросы онкологии», «Врачебное дело», «Экспериментальная медицина». Автор около 150 работ по хирургии и онкологии.
На здании клиники ВМА, где в 1940–58 работал Мельников (Санкт-Петербург, набережная р. Фонтанки, 106) находится мемориальная доска (на фото).
Регоператор «ЭкоИнтегратор» поддержал инициативу экологов Архангельской области
Ремонтные работы на Октябрьской стартовали в Северодвинске
На майские праздники количество отходов выросло на треть
В Поморье анонсировали ключевые мероприятия Дня Победы
В Согре под Верхней Тоймой возводят новую спортплощадку
Холмогорская сосна претендует на звание «Российское дерево года»
В колонии поселка Талаги засверкали «Окна Победы»
В Архангельске готовятся к Фестивалю дарения
«Двинской град» в Архангельске показал старинную жизнь поморов